Um pouco de séries de tempo - espaço de estados e filtro de Kalman

Para quem tem saco de ler algo bem teórico sobre econometria. São resultados de meus estudos para a prova de segunda.

Ontem eu falava dos modelos estruturais para previsão de séries temporais. Para sua operacionalização, expliquei que o modelo deveria ser reescrito sob a forma de espaço de estados. Mas o que é um modelo em espaço de estados?

Um modelo como esse é baseado na independência do futuro do processo em relação a seu passado, dado o estado presente. Ou seja, toda informação do passado está contida no estado do processo, e isso é suficiente para a predição. Representa-se isso através de duas equações dinâmicas: (1) a equação de medida, que representa as observações do processo geradas em função do vetor de estado, e (2) a equação de transição, que representa a evolução dinâmica do vetor de estado não observado. (Souza, 1989, p. 54). As duas perturbações, uma em cada equação, não são correlacionadas entre si para qualquer defasagem, além de serem normais e auto-independentes.

Para que consigamos prever valores futuros através do modelo escrito na forma de espaço de estados, ou seja, para que possamos fazer extrapolações, precisamos de algo que produza estimadores atualizados do vetor de estado, que não é observado. O algoritmo para esse fim é o chamado Filtro de Kalman, que consiste em quatro equações: duas equações de previsão (utilizando até o tempo t-1) e duas equações de atualização, permitindo "a atualização seqüencial do vetor de estado no instante t-1 para o instante t". (Souza, 1989, p. 61).

Segundo Souza (1989, p. 62), o valor atualizado da esperança do vetor de estado (a outra atualiza a variância) "corresponde ao seu estimador corrente [...] somado a um termo de 'correção' devido ao erro de previsão cometido no instante t. [...] Chama-se esse fator de GANHO DO SISTEMA, posteriormente denominado GANHO DE KALMAN".